28.10.2026 - Woche 7

Einige Definitionen:

• $a=b⟹a{\equiv }_{m}b⟹R_m(a){\equiv }_m{R}_m(b)$
• $a{\equiv }_m{R}_m(a)$
• $a+b{\equiv }_m{R}_m(a)+R_m(b)$
• $a\cdot b{\equiv }_m{R}_m(a)\cdot R_m(b)$

Für alle Polynome $f:(a_1,\dots ,a_r)$ gilt: $f:(a_1,\dots ,a_r){\equiv }_{m}f(R(a_1),\dots ,R(a_r))$

Beispiele

Hat die folgende Gleichung Lösungen in $\mathbb{Z}$?
$x^3-x=y^2+1$

Was ist das Resultat von $2^{20}{\equiv }_{15}$ ?

$$2^{20}{\equiv }_{15}{2}^{4\cdot 5}{\equiv }_{15}(2^4{)}^5{\equiv }_{15}{R}_{15}(16{)}^5{\equiv }_{15}{1}^5{\equiv }_{15}1$$

Also: $2^{20}{\equiv }_{15}1$

Was ist das Resultat von $7^{17}{\equiv }_{11}$ ?

Um herauszufinden, ob eine Zahl durch $9$ teilbar ist kann die Quersumme dieser Zahl berechnet werden. Ist diese Zahl durch $9$ teilbar, so ist es auch die originale Zahl. Warum gilt das?

$$135{\equiv }_{9}1\cdot 10^2+3\cdot 10+5{\equiv }_{9}1\cdot R_9(10)+3\cdot R_9(10)+5{\equiv }_{9}1+3+5$$