Injektive Funktion

Eine Funktion wird injektiv genannt, falls das folgende auf sie zutrifft:

$$\forall a,a^{\prime }\in A(f(a)=f(a^{\prime }))\to a=a^{\prime }$$

Wenn zwei Elemente in der Zielmenge von einer Funktion getroffen werden, so muss dies das gleiche Element sein. Es kann nicht sein, dass ein Element doppelt belegt ist. Bei einer injektiven Funktion kann es nicht sein, dass für zwei unterschiedliche Eingabewerte der gleiche Ausgabewert herauskommt.

Beispiel für injektive Funktion:

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N},f(n)=n+1$
Diese Funktion ordnet jeder Zahl $n$ den Wert der Zahl zu, welcher um eines grösser ist als $n$.
Es gibt keine zwei verschiedenen $n$, welche man in die Funktion einsetzten kann, sodass das gleiche Resultat herauskommt.

Beispiel für eine Funktion, welche nicht injektiv ist:

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(n)=n^2$
Diese Funktion ordnet jeder Zahl $n$ ihre Quadratzahl zu. Hier ist die injektivität nicht gegeben, da sowohl die Eingabe von $n=2$ als auch $n=-2$ auf das Resultat $4$ zeigen. Es gibt also zwei Eingaben für $n$, welche verschieden sind und dennoch auf das selbe Resultat zeigen.