14.10.2026 - Woche 4

Wie sieht man $A$ an, ob $T_A$ umkehrbar ist?

• $m<n$ ($A$ ist breit): $T_A$ nicht umkehrbar (Lemma 2.50) (Es gibt mehr Eingaben als mögliche Ausgaben)
• $m>n$ ($A$ ist hoch): $T_A$ nicht umkehrbar (Lemma 2.51) (Es gibt mehr Ausgaben als Eingaben)
• $m=n$ ($A$ ist quadratisch): $A$ ist potenziell umkehrbar aber nicht immer. ($T_A$ mit $A=0\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$, $m>0$)

Formeln zur Berechnung der Inversen:

• Fall $1\times 1$ : $A=[a]⟹A^{-1}=[\frac{1}{a}]$ falls $a\ne 0$
• Fall $2\times 2$ :

$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]⟹A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\cdot \left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$

falls $ad \neq bc$. Sind $ad = bc$ sind die Spalten linear Abhängig und $\nexists A^{-1}$ 

• Fall $m\times m$ : ineffiziente (riesige) Formel basierend auf der Cramerschen Regel. Effiziente Berechnung in Kapitel 3.