Theorem 2.46

Sei $A$ eine $m\times n$ Matrix mit Rang $r$ (Definition 2.10)
Sei $C$ die $m\times r$ Submatrix mit den unabhängigen Spalten von $A$.

Dann gibt es genau eine eindeutige $r\times n$ Matrix $R^{\prime }$ mit $A=C{R}^{\prime }$

Beispiel ($r=1$):

$$\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right]=\underset{C:2\times 1}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]}}\cdot \underset{R^{\prime }:1\times 3}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]}}$$

Die Spalten von $R^{\prime }$ sind die Skalare, um jede Spalte von $A$ als skalares Vielfaches der ersten Spalte zu schreiben.

Beweis

$A$ und $C$ haben den gleichen Spaltenraum (Lemma 2.11) $⟹$ jede Spalte von $A$ ist Linearkombination von $C$:

$$\underset{\text{Spalte von }A}{\underbrace{v_j}}=C\cdot \underset{\text{Vektor von r Skalaren}}{\underbrace{x_j}}$$

Als Matrizen:

$$\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}|& |& & |\\ {\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_n\\ |& |& & |\end{array}\right]}}=C\cdot \underset{R^{\prime },r\times n}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}|& |& & |\\ {\mathbf{x}}_1& {\mathbf{x}}_2& \cdots & {\mathbf{x}}_n\\ |& |& & |\end{array}\right]}}$$

Die Spalten von $C$ sind linear unabhängig, d.h. alle $x_j$ sind eindeutig (Lemma 1.24) Also ist $R^{\prime }$ eindeutig.