Lemma 2.52

Sei $A$ eine $m\times m$ Matrix.
Die folgenden drei Aussagen sind äquivalent:

• (i) $T_A$ : ${\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^m$ ist umkehrbar
• (ii) Es gibt eine $m\times m$ Matrix $B$ mit $AB=I$
• (iii) Die Spalten von $A$ sind linear umabhängig

Beweis

(i) $⟹$ (ii) $⟹$(iii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii):

Wenn $T_A$ umkehrbar ist, dann ist $T_A^{-1}$ eine Matrixtransformation (mit einer $m\times m$ Matrix $B$ )
Nach Korollar 2.49: Da $T_B$ die Transformation $T_A$ umkehrt:

$$e_j=\underset{B(A{e}_j)=(BA)e_j}{\underbrace{T_B(\underset{A{e}_j}{\underbrace{T_A(e_j)}})}}$$

$B(A{e}_j)=(BA)e_j$ nach Korollar 2.35

$(BA)\cdot e_j=e_j$ heisst: Spalte $j$ von $BA$ ist $e_j$

Also gilt: $BA=I$ oder $AB=I$, da man die Transformation auch anders herum ausführen.

(ii) $⟹$ (iii):

Wenn $BA=I$, dann ist $x=0$ der einzige Vektor, der $Ax=0$ erfüllt. Die Spalten von $A$ sind nach Beobachtung 2.5 also linear unabhängig.

Sei $Ax=0$ dann gilt:

$$x=(\underset{I}{\underbrace{BA}})x=B(\underset{0}{\underbrace{Ax}})=B\cdot 0=0$$

(iii) $⟹$ (i):

Wenn die Spalten von $A$ linear unabhängig sind, spannen sie ${\mathbb{R}}^m$ auf. (Lemma 1.26). In Matrixsprache gilt: für jedes $y\in {\mathbb{R}}^m$ gibt es ein $x\in {\mathbb{R}}^m$ mit $T_A(x)=Ax=y$
Nach Lemma 1.22 ist $x$ sogar eindeutig. $T_A$ ist also umkehrbar.