Lemma 3.4

Invarianz der linearen Unabhängigkeit

Sei $A$ eine $m\times n$ Matrix, $M$ eine invertierbare $m\times m$ Matrix und $b\in {\mathbb{R}}^m$.

Dann hat $A$ genau dann linear unabhängige Spalten, wenn $MA$ linear unabhängige Spalten hat.

Beweis:

Aus Beobachtung 2.5 folgt, dass die Spalten einer Matrix genau dann linear unabhängig sind, wenn der Nullraum nur die $0$ enthält. Da aus Lemma 3.3 hervorgeht, dass sowohl $A$ als auch $MA$ den gleichen Nullraum haben muss auch diese Aussage zur linearen Unabhängigkeit gelten.