Theorem 4.37

Sei $A$ eine $m\times n$ Matrix. Dann ist der $rank(A)=rank(A^{\top })$

Beweis

Sei $r$ die Anzahl der Stufen, welche in der RREF $R$ von $A$ nach unten gegangen werden müssen.

Nach Theorem 4.35 folgt:

$$r=dim(\text{C}(A))=rank(A)$$

Nach Theorem 4.36 folgt:

$$r=dim(\text{R}(A))=dim(\text{C}(A^{\top }))=rank(A^{\top })$$

Also:

$$r=rank(A)\text{ und }r=rank(A^{\top })⟹rank(A)=rank(A^{\top })$$