19.10.2026 - Woche 6

Ende Poset

Funktionen

Die Definition einer Funktion:

Die Relation $f\subseteq A\times B$ ist eine (totale) Funktion $f:A\to B$ oder $f:a\mapsto b$ falls

1. $\forall a\in A\exists b\in Bafb$
2. $\forall a\in A,\forall b_1,b_2\in B((af{b}_1\wedge af{b}_2)\to b_1=b_2)$
   gegeben ist.
   Geschrieben wird das ganze als $f(a)=b$ wobei $a$ als das Urbild bezeichnet wird und $f(a)$ bzw. $b$ das Bild genannt wird.

Ist die erste der beiden obigen Bedingungen nicht gegeben, so spricht man nicht von einer totalen sondern nur von einer partiellen Funktion.
Das Bedeutet, dass es für mindestens ein $a$ nicht klar ist, auf welches $b$ es abgebildet werden soll.

Eigenschaften von Funktionen

Funktionen können die folgenden Eigenschaften haben:

• Es kann eine Injektive Funktion sein
• Es kann eine Surjektive Funktion sein
• Es kann eine Bijektive Funktion sein

Lemma:
Sind $f,g$ injektive Funktionen $\Rightarrow g\circ f$ ist injektiv

Beweis
…

Das gilt auch für Surjektivität und Bijektivität.

$B^A$ ist die Menge aller totalen Funktionen $f:A\to B$

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Mächtigkeit

Die Mächtigkeit einer Menge ist wie folgt definiert:

$A⪯B$ falls eine Injektive Funktion $f:A\to B$ exisitert ($⪯$ = $A$ ist höchstens so mächtig wie $B$)
$A\sim B$ falls eine Bijektive Funktion $f:A\to B$ exisitert ($\sim$ = $A$ ist gleichmächtig wie $B$)
$|A|=n$ für $n\in \mathbb{N}$ falls $A\sim n$ Für die Mengendefinition der Natürliche Zahlen
$A$ ist abzählbar, falls $A\sim \mathbb{N}$ oder $A$ endlich ist (endlich heisst $|A|=nn\in \mathbb{N}$)

Beispiele von Mächtigkeiten:

$|\{1,2,10\}|$ = 3
In der Menge $\{1,2,10\}$ gibt es drei Elemente.
$\mathbb{Z}\sim \mathbb{N}$
Es gibt in der Menge der ganzen Zahlen und der natürlichen Zahlen gleich viele Einträge.

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