Mächtigkeit

Die Mächtigkeit einer Menge ist wie folgt definiert:

$A⪯B$ falls eine Injektive Funktion $f:A\to B$ exisitert ($⪯$ = $A$ ist höchstens so mächtig wie $B$)
$A\sim B$ falls eine Bijektive Funktion $f:A\to B$ exisitert ($\sim$ = $A$ ist gleichmächtig wie $B$)
$|A|=n$ für $n\in \mathbb{N}$ falls $A\sim n$ Für die Mengendefinition der Natürliche Zahlen
$A$ ist abzählbar, falls $A\sim \mathbb{N}$ oder $A$ endlich ist (endlich heisst $|A|=nn\in \mathbb{N}$)

Beispiele von Mächtigkeiten:

$|\{1,2,10\}|$ = 3
In der Menge $\{1,2,10\}$ gibt es drei Elemente.
$\mathbb{Z}\sim \mathbb{N}$
Es gibt in der Menge der ganzen Zahlen und der natürlichen Zahlen gleich viele Einträge.