30.10.2026 - Woche 7

Fakt 4.9

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Fakt 4.10

(Excercise 4.10)

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Definition 4.11

Sei $V$ ein Vektor Raum. Dann ist ein Unterraum von $V$ eine Teilmenge von $V$: $U\subseteq V$. Der Unterraum ist selbst ein Vektorraum, mit den selben linearen Operationen, die auch $V$ hat.

In dieser Illustration sind Unterräume von ${\mathbb{R}}^3$ dargestellt. Es gilt zu beachten, dass die in der dritten Illustration dargestellte Gerade kein Unterräume von ${\mathbb{R}}^3$ ist. Die Begründung dafür wird in Lemma 4.13 geliefert.

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Lemma 4.12

Sei $V$ ein Vektor Raum und $U\subseteq V$. Die folgenden beiden Aussagen sind äquivalent:

• (i) $U$ ist ein Unterraum von $V$
• (ii) $U$ ist nicht leer und für alle $v,w\in U$ und $\lambda \in \mathbb{R}$ gilt^Aussage-2
  • (a) $v+w\in U$ ($U$ ist unter der Vektoraddition geschlossen)
  • (b) $\lambda v\in U$ ($U$ ist unter der skalaren Multiplikation geschlossen)

Beweis

(i) $⟹$ (ii)
Aus Definition 4.1 folgt, dass ein Vektor Raum mindestens einen Vektor (den Nullvektor) enthält und unter der Vektoraddition sowie der skalaren Multiplikation geschlossen ist.

(ii) $⟹$ (i)
Aus der Definition 4.1 für $U$ folgt, dass $U$ unter der Vektoraddition sowie der skalaren Multiplikation geschlossen ist. Da $U\subseteq V$ gelten alle Axiome eines Vektorraums ausser Axiom 3 und Axiom 4 sowieso in $V$.

Axiom 3 (Nullvektor):
Wähle ein $u\in U$ und berechne $0\cdot u\in U$ mit (b). Nach Fakt 4.9 ist $0\cdot u=0$ in $V$. Also ist $0$ in $U$ enthalten und auch der Nullvektor. Das dritte Axiom ist also erfüllt.

Axiom 4 (Gegenvektor):
Wähle ein $u\in U$ und berechne $(-1)\cdot u\in U$ mit (b). Nach Fakt 4.10 ist $(-1)\cdot u=-u$ in $V$ erfüllt. $-u$ ist also in $U$ enthalten und der Gegenvektor von $u$. Somit ist das vierte Axiom erfüllt.

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Lemma 4.13

Der Nullvektor eines Vektor Raums $V$ ist auch in jedem Unterraum $U$ von $V$ enthalten und ist auch in diesem Unterraum der Nullvektor.

Das zeigt auch auf, warum in den folgenden Illustrationen die Gerade der dritten Illustration kein Unterraum von ${\mathbb{R}}^3$ ist. Die Bedingung, dass der Nullvektor von ${\mathbb{R}}^3$ enthalten sein muss ist verletzt, da die Gerade nicht durch den Ursprung geht.

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Lemma 4.14

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Isomorphismus

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Theorem 4.40

Sei $A$ eine $m\times n$ Matrix. Dann gilt:

$$dim(\text{C}(A))+dim(\text{N}(A))=n$$Link to original