Lemma 4.12

Sei $V$ ein Vektor Raum und $U\subseteq V$. Die folgenden beiden Aussagen sind äquivalent:

• (i) $U$ ist ein Unterraum von $V$
• (ii) $U$ ist nicht leer und für alle $v,w\in U$ und $\lambda \in \mathbb{R}$ gilt^Aussage-2
  • (a) $v+w\in U$ ($U$ ist unter der Vektoraddition geschlossen)
  • (b) $\lambda v\in U$ ($U$ ist unter der skalaren Multiplikation geschlossen)

Beweis

(i) $⟹$ (ii)
Aus Definition 4.1 folgt, dass ein Vektor Raum mindestens einen Vektor (den Nullvektor) enthält und unter der Vektoraddition sowie der skalaren Multiplikation geschlossen ist.

(ii) $⟹$ (i)
Aus der Definition 4.1 für $U$ folgt, dass $U$ unter der Vektoraddition sowie der skalaren Multiplikation geschlossen ist. Da $U\subseteq V$ gelten alle Axiome eines Vektorraums ausser Axiom 3 und Axiom 4 sowieso in $V$.

Axiom 3 (Nullvektor):
Wähle ein $u\in U$ und berechne $0\cdot u\in U$ mit (b). Nach Fakt 4.9 ist $0\cdot u=0$ in $V$. Also ist $0$ in $U$ enthalten und auch der Nullvektor. Das dritte Axiom ist also erfüllt.

Axiom 4 (Gegenvektor):
Wähle ein $u\in U$ und berechne $(-1)\cdot u\in U$ mit (b). Nach Fakt 4.10 ist $(-1)\cdot u=-u$ in $V$ erfüllt. $-u$ ist also in $U$ enthalten und der Gegenvektor von $u$. Somit ist das vierte Axiom erfüllt.