28.10.2026 - Woche 6

Definition 4.1

Ein (reeller) Vektorraum ist eine Menge $V$ von Vektoren, welche unter den folgenden beiden linearen Operationen abgeschlossen sind.

Addition von Vektoren: $v+w\in V$ für alle $v,w\in V$
Skalare Multiplikation: $\lambda v\in V$ für alle $v\in V$ und alle $\lambda \in \mathbb{R}$

Ausserdem müssen die folgenden Axiome für alle $u,v,w\in V$ und alle $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ erfüllt werden:

Axiome eines Vektorraums

1. $v+w=w+v$
2. $u+(v+w)=(u+v)+w$
3. Es gibt einen Vektor $0$, sodass für alle $v$ folgendes gilt: $v+0=v$
4. Es gibt einen Vektor $-v$, sodass $v+(-v)=0$ gilt
5. $1\cdot v=v$
6. $(\lambda \cdot \mu )v=\lambda \cdot (\mu \cdot v)$
7. $\lambda (v+w)=\lambda v+\lambda w$
8. $(\lambda +\mu )v=\lambda v+\mu v$

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Theorem 4.5

Sei ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ die Menge aller Funktionen: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ mit der Vektoraddition $f+g$ definiert als $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ und die Skalare Multiplikation mit $\lambda \in \mathbb{R}$ definiert als: $(\lambda f)(x):=\lambda f(x)$ .

Dann ist ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ ein Vektor Raum

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Beispiele:
$f(x)=\sin (x)$, $g(x)=e^x$ $\to$ $(f+g)(x)=\sin (x)+e^x$
$(5f)(x)$ $\to$ $5\sin (x)$

Theorem 4.6

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Lemma 4.7

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Lemma 4.8

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Lemma 4.9

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Definition 4.11

Sei $V$ ein Vektor Raum. Dann ist ein Unterraum von $V$ eine Teilmenge von $V$: $U\subseteq V$. Der Unterraum ist selbst ein Vektorraum, mit den selben linearen Operationen, die auch $V$ hat.

In dieser Illustration sind Unterräume von ${\mathbb{R}}^3$ dargestellt. Es gilt zu beachten, dass die in der dritten Illustration dargestellte Gerade kein Unterräume von ${\mathbb{R}}^3$ ist. Die Begründung dafür wird in Lemma 4.13 geliefert.

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Lemma 4.12

Sei $V$ ein Vektor Raum und $U\subseteq V$. Die folgenden beiden Aussagen sind äquivalent:

• (i) $U$ ist ein Unterraum von $V$
• (ii) $U$ ist nicht leer und für alle $v,w\in U$ und $\lambda \in \mathbb{R}$ gilt^Aussage-2
  • (a) $v+w\in U$ ($U$ ist unter der Vektoraddition geschlossen)
  • (b) $\lambda v\in U$ ($U$ ist unter der skalaren Multiplikation geschlossen)

Beweis

(i) $⟹$ (ii)
Aus Definition 4.1 folgt, dass ein Vektor Raum mindestens einen Vektor (den Nullvektor) enthält und unter der Vektoraddition sowie der skalaren Multiplikation geschlossen ist.

(ii) $⟹$ (i)
Aus der Definition 4.1 für $U$ folgt, dass $U$ unter der Vektoraddition sowie der skalaren Multiplikation geschlossen ist. Da $U\subseteq V$ gelten alle Axiome eines Vektorraums ausser Axiom 3 und Axiom 4 sowieso in $V$.

Axiom 3 (Nullvektor):
Wähle ein $u\in U$ und berechne $0\cdot u\in U$ mit (b). Nach Fakt 4.9 ist $0\cdot u=0$ in $V$. Also ist $0$ in $U$ enthalten und auch der Nullvektor. Das dritte Axiom ist also erfüllt.

Axiom 4 (Gegenvektor):
Wähle ein $u\in U$ und berechne $(-1)\cdot u\in U$ mit (b). Nach Fakt 4.10 ist $(-1)\cdot u=-u$ in $V$ erfüllt. $-u$ ist also in $U$ enthalten und der Gegenvektor von $u$. Somit ist das vierte Axiom erfüllt.

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Lemma 4.14

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